高中數學有通過的人,應該就可以了解其中的涵義。
2014年3月28日 星期五
正方體展開圖體積的最大值?!【南一數學國際題】
正方體展開圖體積的最大值?!
南一出題光碟裡,有一題【數學國際題】,題目如下:
在長60公分、寬50公分的長方形紙板上畫一個正方體展開圖,此展開圖組成的正方體,
體積最大是多少?
可以試著做做看,若你算出如下的答案,可以說做對了90%。
解答如下:60÷4=15,15×15×15=3375,答:3375立方公分
為什麼說是只做對了90%呢?
(1)若垂直放的話,邊長最多到15cm,體積就是15*15*15=3375(立方公分)
這種方法只適用於幾種正方形展開圖,但不幸的是,11個正方形的展開圖,
竟只有1種,可以斜放,達到最大的正方體體積。
請參考圖,可以看到關鍵的展開圖,這圖就是要達到100%完全正確的關鍵。
(2)此圖斜放(約36.3∘)後,邊長可放大約至104.1%,邊長可到15.6cm,體積也增大許多。
15.6*15.6*15.6=3796.416(立方公分)
增加了3796.416-3375=421.416(立方公分)
這牽涉到如何找出邊的放大倍率、斜放角度、長方形的邊界、探討極值等問題,
我尚未找到較好的證明方式,但可以知道,最大的正方體,不會只是3375立方公分。
下圖黃色為邊長15cm的正方體展開圖,而藍色為邊長15.6,重疊後能可看出。
所以【數學國際題】,有它的難度,學生若沒有發現就用這90%的正確率即可,這要解決有些難度,需要更多數學工具來探究了。
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