正方體展開圖體積的最大值?!【南一數學國際題】

正方體展開圖體積的最大值?!

南一出題光碟裡，有一題【數學國際題】，題目如下：

在長60公分、寬50公分的長方形紙板上畫一個正方體展開圖，此展開圖組成的正方體，

體積最大是多少？

可以試著做做看，若你算出如下的答案，可以說做對了90%。

 

解答如下：60÷4＝15，15×15×15＝3375，答：3375立方公分

為什麼說是只做對了90%呢?

(1)若垂直放的話，邊長最多到15cm，體積就是15*15*15=3375(立方公分)

這種方法只適用於幾種正方形展開圖，但不幸的是，11個正方形的展開圖，

竟只有1種，可以斜放，達到最大的正方體體積。

請參考圖，可以看到關鍵的展開圖，這圖就是要達到100%完全正確的關鍵。

(2)此圖斜放(約36.3∘)後，邊長可放大約至104.1%，邊長可到15.6cm，體積也增大許多。

  15.6*15.6*15.6=3796.416(立方公分)

  增加了3796.416-3375=421.416(立方公分)

  這牽涉到如何找出邊的放大倍率、斜放角度、長方形的邊界、探討極值等問題，

  我尚未找到較好的證明方式，但可以知道，最大的正方體，不會只是3375立方公分。

  下圖黃色為邊長15cm的正方體展開圖，而藍色為邊長15.6，重疊後能可看出。

 所以【數學國際題】，有它的難度，學生若沒有發現就用這90%的正確率即可，這要解決有些難度，需要更多數學工具來探究了。